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By Louis Harrison

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Alors tout élément de b est de rang strictement inférieur à celui de b, et ne peut être élément de a. Donc b ∩ a = ∅. Remarque. On peut donner un autre sens à cette démonstration de noncontradiction relative (comme à toutes celles qui suivent) en considérant la théorie de Zermelo-Frænkel comme un système formel, sans référence aux modèles de cette théorie : les axiomes, et en général les énoncés (sans paramètre) sont des suites finies de symboles, et on a des règles de déduction (qu’il est inutile d’énoncer ici, mais que le lecteur trouvera par exemple dans [22]) qui, à partir d’énoncés donnés, permettent d’en déduire d’autres.

D’après AC, il existe une fonction h : P(b) {∅} → b telle que h(Y) ∈ Y pour toute partie Y non vide de b. Pour x ∈ a, on définit j(x) = h(l’ensemble des éléments y de b tels que s(y) = x) ; alors j est une injection de a dans b. Si a b, on a deux bijections f : a → a, g : b → b et une injection i : a → b qui est l’application identique (puisque a ⊂ b) . Donc g−1 i f est une injection de a dans b. Inversement, soit j une injection de a dans b ; alors g j est une injection k de a dans b. Soit u ⊂ b l’image de k.

Il est donc bien ordonné par la relation de bon ordre R(x, y) définie sur σ(On) (voir page 39). 7, l’ordinal isomorphe à cet ensemble bien ordonné est un entier vn+1. Donc on a une bijection φn+1 de Vn+1 sur vn+1 définie par φn+1 = 46 Première partie: Modèles intérieurs H(φn) où la relation φ = H(φ) s’énonce : « Il existe d ∈ ω et D tels que φ : D → d, et φ est la fonction de domaine P(D) obtenue en composant l’application ψ : P(D) → {0, 1}d canoniquement déduite de φ, et l’isomorphisme de {0, 1}d muni du bon ordre R sur son ordinal ».

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